Теория динамических систем и бифуркаций

Руководитель группы – д.ф.-м.н. С. В. Гонченко.

Ключевые сотрудники – д.ф.-м.н. профессор Л. М. Лерман, д.ф.-м.н. профессор А. Д. Морозов, профессор Д. В.Тураев.

План работ

2022

Ожидаемые результаты научных исследований

Будут изучены спиральные аттракторы в случае четырехмерных отображений, в том числе, будут построены феноменологические сценарии их возникновения и найдены условия, при которых такие аттракторы являются псевдогиперболическими.

Будут изучены основные бифуркации в интегрируемых гамильтоновых системах с тремя степенями свободы. Будут исследованы бифуркации четырехмерных симплектических диффеоморфизмов с квадратичными непростыми гомоклиническими касаниями к седловой неподвижной точке. 

Будут исследованы бифуркации разрушения симметрии в случае сохраняющих обратимость периодических возмущениях двумерных консервативных систем. Будет доказано существования интервалов Ньюхауса со смешанной динамикой в однопараметрических семействах обратимых двумерных отображений, у которых при некотором значении параметра существует симметричное квадратичное гомоклиническое касание.

Будут найдены условия рождения симметричной пары «дискретный аттрактор Лоренца – дискретный репеллер Лоренца» при бифуркациях двукратно вырожденной симметричной неподвижной точки в случае обратимых многомерных отображений. Будут изучены типичные свойства диффеоморфизмов в малой окрестности  диффеоморфизма с нетривиальными гетероразмерными контурами, будут построены примеры, когда C1-типичное, C2-типичное, и Cr-типичное поведение отличаются. Будет изучено поведения траекторий в бильярде в ограниченной выпуклой области пространства размерности 3 и выше. Будут исследованы бифуркации систем с квадратичными гомоклиническими касаниями к периодическим движениям типа седло-фокус (2,2). Будут исследованы  бифуркаций трехмерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим два седло-фокуса разных топологических типов. Будет доказано существование аттрактора Лоренца в нормальных формах для бифуркаций трехкратно вырожденных периодических движений с резонансными мультипликаторами на единичной окружности. Будут построено четырехмерное обобщение модели Шимицу-Мориока с диким спиральным аттрактором.  

Будет изучена структура резонансных зон в маятниковых уравнениях и уравнениях Дюффинга   при асимметричных периодических возмущениях. Будет изучено явление ускорения Ферми при периодическом возмущении интегрируемых гамильтоновых систем. Будет доказано существование биркгофовских колец неустойчивости для плотного множества бесконечно-гладких двумерных консервативных отображений в областях Ньюхауса, а также будет доказана положительность метрической энтропии для плотного множества бильярдов со знакопеременной кривизной границы. Теория смешанной динамики будет распространена на случай многомерных обратимых диффеоморфизмов с симметричной хаотической динамикой. Будут исследованы бифуркации разрушения симметрии в обратимых системах в окрестности гомоклинических петель седло-фокуса и гетероклинических контуров с седло-фокусами. В качестве приложения, будет доказано существование смешанной динамики в неголономных моделях  кельтского камня.

Будет опубликовано 10 статей (индексируемых в WoS/Scopus — 8; квартиль Q1 — 5);

Число докладов на научных конференциях – 15, участие молодых ученых в предполагаемых публикациях — 5 публикаций. (С. В. Гонченко, ННГУ)

2023

Ожидаемые результаты научных исследований

Будут исследованы бифуркации четырехмерных симплектических диффеоморфизмов с квадратичными непростыми гомоклиническими касаниями к резонансной седловой неподвижной точке (ее мультипликаторы попарно либо совпадают, либо противоположны по знаку). В случае однопараметрических семейств, содержащих трехмерные диффеоморфизмы с парой симметричных гомоклинических касаний, будут исследованы бифуркации, приводящие к появлению негрубых гетероклинических контуров, содержащих седла с разными размерностями неустойчивых многообразий. Результаты будут применены к задаче о периодическом возмущении систем с аттрактором Лоренца. Будут построены новые примеры спиральных аттракторов в случае четырехмерных ориентируемых отображений Эно.  Будут изучены глобальные бифуркации частично-гиперболического состояния равновесия с двумя нулевыми характеристическими показателями и несколькими петлями сепаратрис в случае гамильтоновых и обратимых систем с двумя и более степенями свободы. Будут исследованы основные элементы динамики в невырожденных резонансных зонах для близких к интегрируемым гамильтоновых систем с 3 степенями свободы. Будет исследована задачи о накоплении энергии на основании аномально быстрого ускорения Ферми в виброударных системах. Будет доказано существование интервалов Ньюхауса со смешанной динамикой в однопараметрических семействах обратимых двумерных отображений, у которых при некотором значении параметра существует  симметричное кубическое гомоклиническое касание, в совокупности с предыдущими результатами это даст окончательное доказательство гипотезы о смешанной динамике. Будут найдены условия рождения симметричной пары «дискретный аттрактор Лоренца – дискретный репеллер Лоренца» при бифуркациях двукратно вырожденной симметричной неподвижной точки в случае обратимых многомерных отображений с разными размерностями множества неподвижных точек инволюции. В качестве приложений будут выявлены условия осуществимости таких бифуркаций  в ряде неголономных моделях движения твердого тела (модели кельтского камня, Чаплыгина и др.). 

Будет опубликовано 10 статей (индексируемых в WoS/Scopus — 8; квартиль Q1 — 5);

Число докладов на научных конференциях – 15, участие молодых ученых в предполагаемых публикациях — 5 публикаций. (С. В. Гонченко, ННГУ)

2024

Ожидаемые результаты научных исследований

Будут разработаны новые аналитические и численные  методы исследования хаотической динамики в конкретных системах, в том числе  методов интервальной арифметики для  проверки условий псевдо гиперболичности найденных в рамках проекта многомерных странных аттракторов. Будет решена проблема Ван Стрина о существовании блуждающих областей для двумерных и трехмерных отображений с гомоклиническими касаниями. Будут исследованы локальные бифуркации периодических траекторий с комплексными резонансными мультипликаторами на единичной окружности, в частности будет исследована бифуркация рождения квазипериодически возмущенного аттрактора Лоренца. В случае двумерных симплектических диффеоморфизмов будут исследованы бифуркации гомоклинического касания к неподвижной параболической точке, будут найдены условия существования счетного множества эллиптических периодических точек вблизи такого касания. Будут исследованы глобальные бифуркации гамильтоновых систем с частично-гиперболическими состояниями равновесия типа седло-фокус-центр. Будет изучено глобальное поведение траекторий при асимметричных квазипериодических неконсервативных возмущениях гамильтоновых систем. Для задачи о распространении акустических импульсов в сжимаемой жидкости будут построены солитонные решения сложного профиля. Явление смешанной динамики будет исследовано в периодически возмущенных системах Дюффинга и маятникового типа, при условии, что возмущения сохраняют свойство обратимости невозмущенной системы. Будет доказано существование смешанной динамики в обратимых системах любой размерности – в основе доказательства будет лежать исследование бифуркаций симметричных негрубых гетероклинических контуров, содержащих симметричную пару седловых неподвижных точек с якобианами больше и меньше единицы. Будут исследованы явления смешанной динамики (в частности, явления мгновенного перехода от простой динамики к сложной) на примере бифуркаций обратимой трехмерной системы с двумерным множеством неподвижных точек инволюции при наличии симметричной пары седло-фокусов, связанной гетероклиническим контуром с кривой симметричных седловых состояний равновесия.

Будет опубликовано 10 статей (индексируемых в WoS/Scopus — 8; квартиль Q1 — 5);

Число докладов на научных конференциях – 15, участие молодых ученых в предполагаемых публикациях — 5 публикаций. (С. В. Гонченко, ННГУ)